Booleova algebra

Matematický jazyk pro popis a jednotnou úpravu logických výrazů (výroků a funkcí).
Umožňuje je přehledně kombinovat a zjednodušovat.
- Funkce vytvořená podle slovního zadání může být komplikovaná.
- Zjednodušením se sníží náklady a složitost realizace obvodů.
- V technice se uplatňuje od reléových schémat po návrh hradlových logických obvodů, většinou sestavených ze členů AND, OR a NOT, které se snadno realizuji pomocí spínačů.
Autor: George Boole.

Základní pojmy – opakování

Pravdivostní hodnoty: $\{0,1\}$ ( $0$ = nepravda, $1$ = pravda).
Logická (výroková) proměnná: veličina s hodnotou právě z $\{0,1\}$ ; značení např. $A,B,C$ nebo $x_1,x_2,\dots$ .
Logická funkce: $Y=f(X_1,\dots,X_N)$ ; výstup je vždy $0$ nebo $1$ .

Negace (NOT): mění hodnotu na opačnou. Značení $\lnot A$ nebo $\overline{A}$ . Příklad: když $A=0$ , pak $\overline{A}=1$ ; když $A=1$ , pak $\overline{A}=0$ .
Disjunkce, součet (OR): „nebo“. Značení $A\lor B$ (nebo $A+B$ ); výstup $1$ , pokud aspoň jeden vstup $1$ .
Konjunkce, součin (AND): „a“. Značení $A\land B$ (nebo $A\cdot B$ nebo $AB$ ); výstup $1$ , právě když všechny vstupy $1$ .
Rovnost (ekvivalence): $A \Leftrightarrow B$ (nebo $A=B$ ) je pravdivá, když $A$ a $B$ mají shodnou hodnotu.

Komutativita	$A + B = B + A$	$A \cdot B = B \cdot A$
Asociativita	$A + (B + C) = (A + B) + C$	$A \cdot (B \cdot C) = (A \cdot B) \cdot C$
Distributivita	$A + (B \cdot C) = (A + B) \cdot (A + C)$	$A \cdot (B + C) = (A \cdot B) + (A \cdot C)$
Agresivita prvku vůči operaci	$A + 1 = 1$	$A \cdot 0 = 0$
Neutralita prvku vůči operaci	$A + 0 = A$	$A \cdot 1 =A$
Idempotence	$A + A = A$	$A \cdot A = A$
Absorpce	$A + A \cdot B = A$	$A \cdot (A + B) = A$
Absorpce negace	$A + \overline{A} \cdot B = A + B$	$A \cdot (\overline{A} + B) = A \cdot B$
	$\overline{A} + A \cdot B = \overline{A} + B$	$\overline{A} \cdot (A + B) = \overline{A} \cdot B$
Dvojitá negace	$\overline{\overline{A}} = A$
Vyloučení třetího	$A + \overline{A} = 1$	$A \cdot \overline{A} = 0$
De Morganovy zákony	$\overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}$	$\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}$

Upozornění:

Distributivita součtu $A + (B \cdot C) = (A + B) \cdot (A + C)$ v klasické aritmetice neexistuje!
Při použití de Morganových zákonů pozor na správné ozávorkování – bereme celé strany otáčeného znaménka !

Není definováno odečítání a dělení. Lze přičíst tentýž výraz na obě strany nebo násobit stejným výrazem, ale nelze „odečíst“ ani „dělit“ výrazem na obou stranách rovnice.
- Z $A+B = A+C$ neplyne $B=C$ (nemůžeme odečíst $A$ ).
- Z ${A}\cdot{B} = {A}\cdot{C}$ neplyne $B=C$ (nemůžeme vykrátit/vydělit $A$ ).