Úvod do výrokové logiky

Proč logika v číslicové technice?

Logika
- Je to nauka o vytváření úsudků, rozhodnutí a důkazů.
- V technice pomocí ní děláme přesná pravidla, kterými následně popisujeme chování obvodů.
Cíl logiky
- Z běžných sdělení (rozhodovacích vět, tzv. výroků) udělat funkce nad logickými proměnnými, které lze realizovat pomocí obvodů.
- Laicky řečeno: nepřehlednou větu je třeba upravit pomocí pevně daných (nejlépe matematických) pravidel do jednoznačné podoby.

Výrok (tzv. propozice): tvrzení, u něhož má smysl rozhodnout, zda je pravda nebo nepravda (nic mezi).
Není to otázka ani rozkaz.
V technice: ohodnocení kódujeme jako 1 = pravda, 0 = nepravda.
- Ohodnocení nazýváme pravdivostní hodnota
Příklady:
- „Tlačítko je stisknuto.“
- „Dveře jsou otevřené.“
- „Zařízení je v poruše.“

Jiný název – logická proměnná
Jde o ohodnocení výroku – byl výrok pravdivý nebo ne?
Definice: veličina nabývající právě jedné ze dvou hodnot z množiny $\{0, 1\}$ (nepravda=False / pravda=True).
Značení: $x, y, z$ , nebo s indexy $x_1, x_2, \ldots$
Fyzikální reprezentace:
- Konkrétní úrovně fyzikální veličiny – el. napětí / el. proudu / světla / hydraulického či pneumatického tlaku, apod.
- Logická hodnota je abstrakce nad nimi.
- Příklad: logická 0 (vypnuto) = napětí menší než 2.5V, logická 1 (zapnuto) = napětí větší než 2.5V
Můžeme tvořit vektory proměnných:
- Spojení více proměnných do jedné (n-bitový signál; bit, byte, …)
- $x = (x₁, \ldots, xₙ)$
- Hodí se, například když potřebujeme udělat naráz stejný výpočet nad větším množstvím proměnných.
Speciální stavy v praxi:
- V praxi můžeme narazit na některé speciální stavy
- Nejsou to třetí logické hodnoty, jen modelové fyzikální stavy.
- Např.:
  - Nedefinovaná hodnota – veličina se pohybuje v rozsahu, kdy nemůžeme určit, zda se jedná o log. 0 nebo 1
  - Vysoká impedance – nepřipojený signál (např. el. napětí není přítomno vůbec).
Hodnoty proměnných se mohou měnit v čase (a systém na ně může reagovat).
Příklad: proměnná S představující výrok „Slunce svítí“ – ve dne je odpověď ano (S=1), v noci ne (S=0)

Obor, který pracuje s výroky a jejich pravdivostní hodnotou.
Formální odvozovací systém
- Výrokům přiřadíme výrokové proměnné – vytvoříme tzv. atomické formule (atomické = dále nedělitelné, neobsahuje spojky)
- Z výroků formálně odvozujeme jejich důsledky – tzv. formule
  - K tomu slouží logické operace zapsané pomocí symbolů/spojek (např. $\land \lor$ )- tzv. odvozovací pravidla
- Na základě formule můžeme učinit rozhodnutí – tzv. ohodnocení formule
Skládá se ze:
- Syntaktických pravidel – určují, kdy je formule správně utvořená
- Odvozovacích pravidel – určují, jak můžeme formule kombinovat

Formalizované rozhodnutí/důsledek nad vstupními výroky/proměnnými.
Každé kombinaci hodnot vstupních logických proměnných přiřazuje výstupní ohodnocení 1 nebo 0.
Jedná se vlastně o matematický zápis výrokové formule.
Arita (stupeň) funkce: počet vstupních proměnných.
Funkce je deterministická – tedy pro každou vstupní kombinaci je výstup vždy stejný (jednoznačný).
Vstupní proměnné jsou nezávislé – navzájem se neovlivňují.
- Například „Motor je pod napětím.“ a „Motor pracuje.“ jsou vzájemně závislé a lze je nahradit jedinou vstupní proměnnou.
Příklady:
- „Alarm je zapnut, pokud jsou dveře (d) otevřené a servisní klíč (k) není zapnut.“
  - $f(d, k)=d \land \overline{k}$
- „Čerpadlo čerpá, když je hladina v nádrži nízká (h) a je dostatečný přívod vody (p).“
  - $f(h, p)=h \land p$

Logický obvod: fyzická realizace logické funkce (nebo více funkcí) – převádí logické vstupy na logické výstupy podle definovaných pravidel.
Např.: elektrický, mechanický, pneumatický, hydraulický, …

Napiš 3 výroky z praxe (např. škola/dílna/domácnost) a urči, kdy jsou pravdivé.
Zkus vytvořit logickou funkci – navrhni vstupní proměnné a slovně popiš, kdy bude výstup log. 1.
- Příklad proměnných: svítí slunce (S), prší (P)
- Příklad funkce: Pokud svítí slunce a zároveň prší, bude duha.
- Tedy funkce je log. 1, právě když S a zároveň P.