Číselné soustavy

abstraktní entita
popisuje: množství, pořadí
zapisujeme: abychom mohli sdílet výsledky, počítat, …
- Způsob zápisu určují číselné soustavy (sada číslic + pravidla).
- tzv. obraz čísla

Definice: množina číslic (znaků, cifer) + pravidla pro zápis a počítání s „obrazy“ čísel
Pohled teorie kódů:
- soustava je „kód“
- 1. množina = čísla (abstraktní hodnota) ⬌ druhá množina = slova z abecedy číslic (obrazy/zápisy čísel).
Rozlišujeme soustavy:
- Polyadické (poziční)
  - pozice číslice v zápisu určuje její váhu
  - Nejčastější – běžné číselné soustavy
- Nepolyadické (nepoziční)
  - Pozice číslice neurčuje její hodnotu
  - např. římská čísla

Mayské číslice
Zdroj: wikipedia.org

Další světové číslice
Zdroj: wikipedia.org

Základ $Z > 0$ určuje počet číslic
Příklady soustav
- Z=2: dvojková / binární
  - digitální technika, stavy zapnuto/vypnuto
- Z=3: trojková / ternární
  - digitální technika, stavy zapnuto/vypnuto/nedefinováno
  - kódování Morseovy abecedy
- Z=8: osmičková / oktální
  - zkrácení dvojkového zápisu na třetinu
- Z=10: desítková / dekadická
  - počítání na prstech
  - nejběžnější, „implicitní“ zápis čísel
- Z=12: dvanáctková / duodecimální
  - zápis času (hodiny ve dvanáctihodinovém formátu, např. USA)
  - „kupecké“ počty na prstech – snadné dělení 2,3,4,6
- Z=16: šestnáctková / hexadecimální
  - zkrácení dvojkového zápisu na čtvrtinu
- Z=20: dvacítková / vigesimální
  - počítání na prstech – např. Mayové
- Z=24: čtyřiadvacítková / quadravigesimální
  - čas (hodiny ve dvaceti čtyřhodinovém formátu, např. ČR)
- Z=60: šedesátková / sexagesimální
  - čas a úhly (minuty)
  - Babylon – klínopisné číslice
- Z=64: čtyřiašedesátková / tetrasexagesimální
  - kódování digitálních dat do textové podoby (base64)
Základy je možno skládat ⭢ vícezákladové soustavy
- Např. zápis času HH:MM:SS, kde Z=Z_1 \cdot Z_2 \cdot Z_3
  - $Z_1=24$ jsou hodiny
  - $Z_2=60$ jsou minuty
  - $Z_3=60$ jsou sekundy

N=\sum_{i=-n}^{m-1} {\color{#d81b60}{a_i}}\, {\color{#1e88e5}{Z}}^{\,{\color{#43a047}{i}}} \quad\text{({\color{#d81b60}{koeficient}}, {\color{#1e88e5}{základ}}, {\color{#43a047}{řád}});}\quad \text{váha }={\color{#6d4c41}{Z^{\,i}}}

v rozepsané podobě

N= a_{m-1}Z^{m-1}+a_{m-2}Z^{m-2}+...+a_0Z^0+a_{-1}Z^{-1}+...+a_{-n}Z^{-n}

Exponent (mocnina, řád)
- $i \in \mathbb{Z}$ (i je celé číslo), které jde postupně od $-n$ do $m-1$
- záporné řády v desítkové soustavě jsou např. desetiny ( $i=-1$ ), setiny ( $i=-2$ ), …
- nezáporné řády v desítkové soustavě jsou např. jednotky( $i=0$ ), desítky ( $i=1$ ), …
- $n$ je nejnižší řád v čísle – počet číslic za desetinnou čárkou
- $m$ je nejvyšší řád v čísle – počet číslic před desetinnou čárkou
- Řadová čárka leží pomyslně mezi členem $i=0$ a $i=-1$
- Např. číslo: 123,456
  - $m=3, n=3$ , tedy $i \in \{2, 1, 0, -1, -2, -3\}$
Cifra (též konstanta/koeficient) v řádu i: a_i
- Platí, že: $0 \le a_i < Z$
- Tedy např. v soustavě o základu 3 máme cifry 0, 1 a 2
  - Začínáme $0$ a končíme $Z-1$
- U Z > 10 používáme písmena a další znaky
  - A-F u hexadecimální soustavy
  - velká a malá písmena, plus a lomítko u base64
Váha řádu i: Z^i
- Např.: 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8, … u dvojkové soustavy
- Např.: 1000, 100, 10, 1, 1/10, 1/100, … u desítkové soustavy
Index soustavy
- Abychom poznali, v jaké soustavě je číslo zapsáno, napíšeme základ dolním indexem za číslo
- U desítkové psát nemusíme
- Např.: 1011₂ , 35₁₀, 1A7₁₆

10100010110_2 =1\cdot2^{10}+0\cdot2^9+1\cdot2^8+0\cdot2^7+0\cdot2^6+0\cdot2^5 +1\cdot2^4+0\cdot2^3+1\cdot2^2+1\cdot2^1+0\cdot2^0

=1024+0+256+0+0+0+16+0+4+2+0=1302_{10}

Součet dává desítkovou hodnotu 1302₁₀.

Převod do desítkové soustavy tedy provádíme dosazením do vzorce.

More posts